绝对值
[size=3][color=#333399]绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题． [/color][/size][size=3][color=#333399] 下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．[/color][/size][size=3][color=#333399] 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即[/color][/size]
[align=center][size=3][color=#333399][img]http://www.zhongkao.cn/UpF_Article/2005-09/200598101628734.JPG[/img][/color][/size][/align][size=3][color=#333399] 绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．[/color][/size]
[size=3][color=#333399] 结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．[/color][/size]
[size=3][color=#333399] [b][font=宋体]例[/font][/b][b]1[/b] a[font=宋体]，[/font]b[font=宋体]为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] (1)[font=宋体]｜[/font]a+b[font=宋体]｜[/font]=[font=宋体]｜[/font]a[font=宋体]｜[/font]+[font=宋体]｜[/font]b[font=宋体]｜；[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] (2)[font=宋体]｜[/font]ab[font=宋体]｜[/font]=[font=宋体]｜[/font]a[font=宋体]｜｜[/font]b[font=宋体]｜；[/font](3)[font=宋体]｜[/font]a[font=,Arial]-[/font]b[font=宋体]｜[/font]=[font=宋体]｜[/font]b[font=,Arial]-[/font]a[font=宋体]｜；[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] (4)[font=宋体]若｜[/font]a[font=宋体]｜[/font]=b[font=宋体]，则[/font]a=b[font=宋体]；[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] (5)[font=宋体]若｜[/font]a[font=宋体]｜＜｜[/font]b[font=宋体]｜，则[/font]a[font=宋体]＜[/font]b[font=宋体]；[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] (6)[font=宋体]若[/font]a[font=宋体]＞[/font]b[font=宋体]，则｜[/font]a[font=宋体]｜＞｜[/font]b[font=宋体]｜．[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] [b][font=宋体]解[/font][/b] (1)[font=宋体]不对．当[/font]a[font=宋体]，[/font]b[font=宋体]同号或其中一个为[/font]0[font=宋体]时成立．[/font](2)[font=宋体]对．[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] (3)[font=宋体]对．[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] (4)[font=宋体]不对．当[/font]a[font=宋体]≥[/font]0[font=宋体]时成立．[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] (5)[font=宋体]不对．当[/font]b[font=宋体]＞[/font]0[font=宋体]时成立．[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] (6)[font=宋体]不对．当[/font]a[font=宋体]＋[/font]b[font=宋体]＞[/font]0[font=宋体]时成立．[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] [b][font=宋体]例[/font][/b][b]2[/b] [font=宋体]设有理数[/font]a[font=宋体]，[/font]b[font=宋体]，[/font]c[font=宋体]在数轴上的对应点如图[/font]1[font=,Arial]-[/font]1[font=宋体]所示，化简｜[/font]b[font=,Arial]-[/font]a[font=宋体]｜[/font]+[font=宋体]｜[/font]a+c[font=宋体]｜[/font]+[font=宋体]｜[/font]c[font=,Arial]-[/font]b[font=宋体]｜．[/font][/color][/size]
[align=center][size=3][color=#333399][img]http://www.zhongkao.cn/UpF_Article/2005-09/200598101629580.jpg[/img][/color][/size][/align][font=宋体][size=3][color=#333399]
[/color][/size][/font][size=3][color=#333399] [b][font=宋体]解[/font][/b] [font=宋体]由图[/font]1[font=,Arial]-[/font]1[font=宋体]可知，[/font]a[font=宋体]＞[/font]0[font=宋体]，[/font]b[font=宋体]＜[/font]0[font=宋体]，[/font]c[font=宋体]＜[/font]0[font=宋体]，且有｜[/font]c[font=宋体]｜＞｜[/font]a[font=宋体]｜＞｜[/font]b[font=宋体]｜＞[/font]0[font=宋体]．根据有理数加减运算的符号法则，有[/font]b[font=,Arial]-[/font]a[font=宋体]＜[/font]0[font=宋体]，[/font]a[font=宋体]＋[/font]c[font=宋体]＜[/font]0[font=宋体]，[/font]c[font=,Arial]-[/font]b[font=宋体]＜[/font]0[font=宋体]．[/font][/color][/size]
[font=宋体][size=3][color=#333399] 再根据绝对值的概念，得
[/color][/size][/font][align=center][size=3][color=#333399][font=宋体]｜[/font]b[font=,Arial]-[/font]a[font=宋体]｜[/font]=a[font=,Arial]-[/font]b[font=宋体]，｜[/font]a+c[font=宋体]｜[/font]=[font=,Arial]-[/font](a+c)[font=宋体]，｜[/font]c[font=,Arial]-[/font]b[font=宋体]｜[/font]=b[font=,Arial]-[/font]c[font=宋体]．[/font][/color][/size][/align][font=宋体][size=3][color=#333399] 于是有
[/color][/size][/font][size=3][color=#333399] [font=宋体]原式[/font]=(a[font=,Arial]-[/font]b)[font=,Arial]-[/font](a+c)+(b[font=,Arial]-[/font]c)=a[font=,Arial]-[/font]b[font=,Arial]-[/font]a[font=,Arial]-[/font]c+b[font=,Arial]-[/font]c=[font=,Arial]-[/font]2c[font=宋体]．[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] [b][font=宋体]例[/font][/b][b]3[/b] [font=宋体]已知[/font]x[font=宋体]＜[/font][font=,Arial]-[/font]3[font=宋体]，化简：｜[/font]3+[font=宋体]｜[/font]2[font=,Arial]-[/font][font=宋体]｜[/font]1+x[font=宋体]｜｜｜．[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] [b][font=宋体]分析[/font][/b] [font=宋体]这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] [b][font=宋体]解[/font][/b] [font=宋体]原式[/font]=[font=宋体]｜[/font]3+[font=宋体]｜[/font]2+(1+x)[font=宋体]｜｜[/font]([font=宋体]因为[/font]1+x[font=宋体]＜[/font]0)[/color][/size]
[size=3][color=#333399] =[font=宋体]｜[/font]3+[font=宋体]｜[/font]3+x[font=宋体]｜｜[/font] [/color][/size]
[size=3][color=#333399] =[font=宋体]｜[/font]3[font=,Arial]-[/font](3+x)[font=宋体]｜[/font]([font=宋体]因为[/font]3+x[font=宋体]＜[/font]0)[/color][/size]
[size=3][color=#333399] =[font=宋体]｜[/font][font=,Arial]-[/font]x[font=宋体]｜[/font]=[font=,Arial]-[/font]x[font=宋体]．[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] [img]http://www.zhongkao.cn/UpF_Article/2005-09/200598101629621.JPG[/img][/color][/size]
[size=3][color=#333399] [b][font=宋体]解[/font][/b] [font=宋体]因为[/font] abc[font=宋体]≠[/font]0[font=宋体]，所以[/font]a[font=宋体]≠[/font]0[font=宋体]，[/font]b[font=宋体]≠[/font]0[font=宋体]，[/font]c[font=宋体]≠[/font]0[font=宋体]．[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] (1)[font=宋体]当[/font]a[font=宋体]，[/font]b[font=宋体]，[/font]c[font=宋体]均大于零时，原式[/font]=3[font=宋体]；[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] (2)[font=宋体]当[/font]a[font=宋体]，[/font]b[font=宋体]，[/font]c[font=宋体]均小于零时，原式[/font]=[font=,Arial]-[/font]3[font=宋体]；[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] (3)[font=宋体]当[/font]a[font=宋体]，[/font]b[font=宋体]，[/font]c[font=宋体]中有两个大于零，一个小于零时，原式[/font]=1[font=宋体]；[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] (4)[font=宋体]当[/font]a[font=宋体]，[/font]b[font=宋体]，[/font]c[font=宋体]中有两个小于零，一个大于零时，原式[/font]=[font=,Arial]-[/font]1[font=宋体]．[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] [img]http://www.zhongkao.cn/UpF_Article/2005-09/200598101629360.JPG[/img][/color][/size]
[size=3][color=#333399] [b][font=宋体]说明[/font][/b] [font=宋体]本例的解法是采取把[/font]a[font=宋体]，[/font]b[font=宋体]，[/font]c[font=宋体]中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] [b][font=宋体]例[/font][/b][b]5[/b] [font=宋体]若｜[/font]x[font=宋体]｜[/font]=3[font=宋体]，｜[/font]y[font=宋体]｜[/font]=2[font=宋体]，且｜[/font]x[font=,Arial]-[/font]y[font=宋体]｜[/font]=y[font=,Arial]-[/font]x[font=宋体]，求[/font]x+y[font=宋体]的值．[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] [b][font=宋体]解[/font][/b] [font=宋体]因为｜[/font]x[font=,Arial]-[/font]y[font=宋体]｜≥[/font]0[font=宋体]，所以[/font]y[font=,Arial]-[/font]x[font=宋体]≥[/font]0[font=宋体]，[/font]y[font=宋体]≥[/font]x[font=宋体]．由｜[/font]x[font=宋体]｜[/font]=3[font=宋体]，｜[/font]y[font=宋体]｜[/font]=2[font=宋体]可知，[/font]x[font=宋体]＜[/font]0[font=宋体]，即[/font]x=[font=,Arial]-[/font]3[font=宋体]．[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] (1)[font=宋体]当[/font]y=2[font=宋体]时，[/font]x+y=[font=,Arial]-[/font]1[font=宋体]；[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] (2)[font=宋体]当[/font]y=[font=,Arial]-[/font]2[font=宋体]时，[/font]x+y=[font=,Arial]-[/font]5[font=宋体]．[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] [font=宋体]所以[/font]x+y[font=宋体]的值为[/font][font=,Arial]-[/font]1[font=宋体]或[/font][font=,Arial]-[/font]5[font=宋体]．[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] [b][font=宋体]例[/font][/b][b]6[/b] [font=宋体]若[/font]a[font=宋体]，[/font]b[font=宋体]，[/font]c[font=宋体]为整数，且｜[/font]a[font=,Arial]-[/font]b[font=宋体]｜[/font]19+[font=宋体]｜[/font]c[font=,Arial]-[/font]a[font=宋体]｜[/font]99=1[font=宋体]，试计算｜[/font]c[font=,Arial]-[/font]a[font=宋体]｜[/font]+[font=宋体]｜[/font]a[font=,Arial]-[/font]b[font=宋体]｜[/font]+[font=宋体]｜[/font]b[font=,Arial]-[/font]c[font=宋体]｜的值．[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] [b][font=宋体]解[/font][/b] a[font=宋体]，[/font]b[font=宋体]，[/font]c[font=宋体]均为整数，则[/font]a[font=,Arial]-[/font]b[font=宋体]，[/font]c[font=,Arial]-[/font]a[font=宋体]也应为整数，且｜[/font]a[font=,Arial]-[/font]b[font=宋体]｜[/font]19[font=宋体]，｜[/font]c[font=,Arial]-[/font]a[font=宋体]｜[/font]99[font=宋体]为两个非负整数，和为[/font]1[font=宋体]，所以只能是[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] [font=宋体] ｜[/font]a[font=,Arial]-[/font]b[font=宋体]｜[/font]19=0[font=宋体]且｜[/font]c[font=,Arial]-[/font]a[font=宋体]｜[/font]99=1[font=宋体]， ①[/font][/color][/size]
[font=宋体][size=3][color=#333399] 或
[/color][/size][/font][size=3][color=#333399] [font=宋体] ｜[/font]a[font=,Arial]-[/font]b[font=宋体]｜[/font]19=1[font=宋体]且｜[/font]c[font=,Arial]-[/font]a[font=宋体]｜[/font]99=0[font=宋体]． ②[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] [font=宋体]由①有[/font]a=b[font=宋体]且[/font]c=a[font=宋体]±[/font]1[font=宋体]，于是｜[/font]b[font=,Arial]-[/font]c[font=宋体]｜[/font]=[font=宋体]｜[/font]c[font=,Arial]-[/font]a[font=宋体]｜[/font]=1[font=宋体]；由②有[/font]c=a[font=宋体]且[/font]a=b[font=宋体]±[/font]1[font=宋体]，于是｜[/font]b[font=,Arial]-[/font]c[font=宋体]｜[/font]=[font=宋体]｜[/font]a[font=,Arial]-[/font]b[font=宋体]｜[/font]=1[font=宋体]．无论①或②都有[/font][/color][/size]
[align=center][size=3][color=#333399][font=宋体]｜[/font]b[font=,Arial]-[/font]c[font=宋体]｜[/font]=1[font=宋体]且｜[/font]a[font=,Arial]-[/font]b[font=宋体]｜[/font]+[font=宋体]｜[/font]c[font=,Arial]-[/font]a[font=宋体]｜[/font]=1[font=宋体]，[/font][/color][/size][/align][font=宋体][size=3][color=#333399] 所以
[/color][/size][/font][align=center][size=3][color=#333399][font=宋体]｜[/font]c[font=,Arial]-[/font]a[font=宋体]｜[/font]+[font=宋体]｜[/font]a[font=,Arial]-[/font]b[font=宋体]｜[/font]+[font=宋体]｜[/font]b[font=,Arial]-[/font]c[font=宋体]｜[/font]=2[font=宋体]．[/font][/color][/size][/align][align=left][size=3][color=#333399] [img]http://www.zhongkao.cn/UpF_Article/2005-09/200598101629371.JPG[/img][/color][/size][/align][size=3][color=#333399] [b][font=宋体]解[/font][/b] [font=宋体]依相反数的意义有[/font][/color][/size]
[align=center][size=3][color=#333399][font=宋体]｜[/font]x[font=,Arial]-[/font]y+3[font=宋体]｜[/font]=[font=,Arial]-[/font][font=宋体]｜[/font]x+y[font=,Arial]-[/font]1999[font=宋体]｜．[/font][/color][/size][/align][size=3][color=#333399] [font=宋体]因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜[/font]x[font=,Arial]-[/font]y+3[font=宋体]｜[/font]=0[font=宋体]且｜[/font]x+y[font=,Arial]-[/font]1999[font=宋体]｜[/font]=0[font=宋体]．即[/font][/color][/size]
[align=center][size=3][color=#333399][img]http://www.zhongkao.cn/UpF_Article/2005-09/200598101629797.JPG[/img][/color][/size][/align][size=3][color=#333399] [font=宋体]由①有[/font]x[font=,Arial]-[/font]y=[font=,Arial]-[/font]3[font=宋体]，由②有[/font]x+y=1999[font=宋体]．②[/font][font=,Arial]-[/font][font=宋体]①得[/font][/color][/size]
[align=center][size=3][color=#333399]2y=2002[font=宋体]，[/font] y=1001[font=宋体]，[/font][/color][/size][/align][font=宋体][size=3][color=#333399] 所以[/color][/size]
[align=center][size=3][color=#333399][img]http://www.zhongkao.cn/UpF_Article/2005-09/200598101629112.JPG[/img][/color][/size][/align][/font][size=3][color=#333399] [b][font=宋体]例[/font][/b][b]8 [/b][font=宋体]化简：｜[/font]3x+1[font=宋体]｜[/font]+[font=宋体]｜[/font]2x[font=,Arial]-[/font]1[font=宋体]｜．[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] [font=宋体][b]分析[/b][/font] [font=宋体]本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜[/font]3x+1[font=宋体]｜，只要考虑[/font]3x+1[font=宋体]的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399][img]http://www.zhongkao.cn/UpF_Article/2005-09/200598101629784.JPG[/img][/color][/size]
[size=3][color=#333399][font=宋体]为三个部分[/font]([font=宋体]如图[/font]1[font=宋体]－[/font]2[font=宋体]所示[/font])[font=宋体]，即[/font][/color][/size]
[align=center][size=3][color=#333399][img]http://www.zhongkao.cn/UpF_Article/2005-09/200598101629833.JPG[/img][/color][/size][/align][font=宋体][size=3][color=#333399] 这样我们就可以分类讨论化简了．[/color][/size]
[align=center][size=3][color=#333399] [img]http://www.zhongkao.cn/UpF_Article/2005-09/200598101629738.jpg[/img] [/color][/size][/align][align=left][size=3][color=#333399] [img]http://www.zhongkao.cn/UpF_Article/2005-09/200598101629140.JPG[/img] [/color][/size][/align][/font][size=3][color=#333399] [font=宋体]原式[/font]=[font=,Arial]-[/font](3x+1)[font=,Arial]-[/font](2x[font=,Arial]-[/font]1)=5x[font=宋体]；[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] [img]http://www.zhongkao.cn/UpF_Article/2005-09/200598101629472.JPG[/img][/color][/size]
[size=3][color=#333399] [font=宋体] 原式[/font]=(3x+1)[font=,Arial]-[/font](2x[font=,Arial]-[/font]1)=x+2[font=宋体]；[/font][/color][/size]
[size=3][color=#333399] [img]http://www.zhongkao.cn/UpF_Article/2005-09/200598101629876.JPG[/img][/color][/size]
[size=3][color=#333399] [font=宋体]原式[/font]=(3x+1)+(2x[font=,Arial]-[/font]1)=5x[font=宋体]．[/font][/color][/size]
[font=宋体][size=3][color=#333399] 即[/color][/size]
[size=3][color=#333399] [img]http://www.zhongkao.cn/UpF_Article/2005-09/200598101629811.JPG[/img][/color][/size]
[/font][size=3][color=#333399] [b][font=宋体]说明[/font][/b] [font=宋体]解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．[/font][/color][/size]
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