切的一切
“总而言之,一切的一切……”,这是一句很普通的口头禅。
把“一切的一切”谐音成为“一七的一七”,就得到一道数学题:
1717的末位数字是什么?
如果手头有电脑,而且配备了比较好的计算软件,那么容易利用电脑算出
1717=827240261886336764177,这是一个21位数,末位数字是7。
如果手头没有这么好的计算条件,该怎么做呢?
饭要一口一口地吃。要将17个17连乘,先要将两个17相乘。要问1717的末位数字是什么,可以先看172的末位数字是什么。
因为172的末位数字与72的末位数字相同,而72=49,所以172的末位数字是9。
再平方一次如何?利用前一步的结果,可以知道,(172)2的末位数字与92的末位数字相同,而92=81,所以174的末位数字是1。
末位数字是1的数,无论再做多少次乘方,末位数字还是1。由于
1717=(174)4×17,其中(174)4的末位数字是1,所以1717的末位数字是7。这就是所需的答案。
用类似的方法可以讨论其他整数的乘方的末位数字。例如,可以仿照上面的“滚雪球” 过程,得到4343的末位数字也是7,因而4343和1717的末位数字相同。4343的值究竟是多少呢?利用电脑容易算出
4343=17 343 773 367 030 267 519 903 781
288 812 032 158 308 062 539 012
091 953 077 767 198 995 507,
这是一个71位数,末位数字确实是7。
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