趣味数学10道题

　　1.有人编写了一个程序， 从1开始， 交替做乘法或加法， （第一次可以是加法，也可以是乘法）， 每次加法， 将上次运算结果加2或是加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3， 例如30， 可以这样得到： 1 +3 =4*2=8+2=10*3=30，请问怎样可以得到：2的100次+2的97次-2

　　解答：1+3=4+2=2的3次-2=2的3次+2-2=（2的3次+2-2）*2=……==2的100次+2的97次-2的97次=2的100次+2的97次-2的97次+2=2的100次+2的97次-2的97次+2+2=……=2的100次+2的97次-2

　　2.下诗出于清朝数学家徐子云的著作，请算出诗中有多少僧人？

　　巍巍古寺在云中，不知寺内多少僧。

　　三百六十四只碗，看看用尽不差争。

　　三人共食一只碗，四人共吃一碗羹。

　　请问先生明算者，算来寺内几多僧？

　　解答：三人共食一只碗：则吃饭时一人用三分之一个碗，

　　四人共吃一碗羹：则吃羹时一人用四分之一个碗，

　　两项合计，则每人用1/3+1/4=7/12个碗，

　　设共有和尚X人，依题意得：

　　7/12X=364

　　解之得，X=624

　　3.两个男孩各骑一辆自行车，从相距2O英里（1英里合1.6093千米）的两个地方，开始沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬间，一辆自行车车把上的一只苍蝇，开始向另一辆自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车车把，就立即转向往回飞行。这只苍蝇如此往返，在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到两辆自行车相遇为止。如果每辆自行车都以每小时1O英里的等速前进，苍蝇以每小时15英里的等速飞行，那么，苍蝇总共飞行了多少英里？

　　解答：每辆自行车运动的速度是每小时10英里，两者将在1小时后相遇于2O英里距离的中点。苍蝇飞行的速度是每小时15英里，因此在1小时中，它总共飞行了15英里。

　　4.《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料。下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”问题是其中之一。原题如下： 令有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雄、兔各几何？

　　解答：设x为雉数，y为兔数，则有

　　x＋y＝b， 2x＋4y＝a

　　解之得：y＝b／2－a，

　　x＝a－（b／2－a）

　　根据这组公式很容易得出原题的答案：兔12只，雉22只。

　　5.我们大家一起来试营一家有80间套房的旅馆，看看知识如何转化为财富。

　　经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人。 每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。

　　问题：我们该如何定价才能赚最多的钱？

　　解答：日租金360元。

　　虽然比客满价高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入； 扣除50间房的支出40*50=2000元，每日净赚16000元。而客满时净利润只有160*80-40*80=9600元。

　　6. 数学家维纳的年龄：我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，维纳的年龄是多少?

　　解答：设维纳的年龄是x，首先岁数的立方是四位数，这确定了一个范围。10的立方是1000，20的立方是8000，21的立方是9261，是四位数；22的立方是10648；所以10=

　　7.把1,2,3,4……1986，1987这1987个自然数均匀排成一个大圆圈，从1开始数：隔过1划2，3；隔过4划掉5，6，这样每隔一个数划掉两个数，转圈划下去，问：最后剩下哪个数。

　　解答：663

　　8.在一幅长90厘米，宽40厘米的风景画的四周外围向上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的百分之72，那么金色纸边的宽应为多少？

　　解答：根据题意有（90+2X）（40+2X）*72%=90*40

　　(90+2X)(40+2X)=3600/0.72

　　3600+180X+80X+4X2=5000

　　4X2+260X-1400=0

　　（4X-20）(X+70)=0

　　得 4x-20=0 X+70=0

　　4*x=20 X=5

　　X=-70 不成立

　　所以X=5CM

　　9.用黑白两种颜色的皮块缝制而成的足球，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形，若一个球上共有黑白皮块32块，请计算，黑色皮块和白色皮块的块数

　　解答：等量关系：

　　白色皮块中与黑色皮块中共用的边数=黑色皮块中与白色皮块共用的边数

　　设：有白色皮块x

　　3x=5(32-x)

　　解得 x=20

　　10.抽屉中有十只相同的黑袜子和十只相同的白袜子,假若你在黑暗中打开抽屉,伸手拿出袜子,请问至少要拿出几只袜子,才能确定拿到了一双?

　　解答：3

　　11.小赵，小钱，小孙，小李4人讨论一场足球赛决赛究竟是哪个队夺冠。小赵说：“D对必败，而C队能胜。”小钱说：“A队，C队胜于B队败会同时出现。”小孙说：“A队，B队C队都能胜。”小李说：“A队败，C队，D队胜的局面明显。”

　　他们的话中已说中了哪个队取胜，请问你猜对究竟哪个队夺冠吗？

　　解答：小赵，小钱，小孙，小李4人讨论一场足球赛决赛究竟是哪个队夺冠。小赵说：“D对必败，而C队能胜。”小钱说：“A队，C队胜与B队败会同时出现。”小孙说：“A队，B队C队都能胜。”小李说：“A队败，C队，D队胜的局面明显。”

　　小赵的话说明 D队败

　　小钱的话说明 B队败

　　小孙的话说明 D队败

　　小李的话说明 A队败

　　所以，C队胜利

　　12.如果长度为a,b,c的三条线段能够成三角形,那麽线段根号a,根号b,根号c是否能够成三角形?

　　如果一定能构成或一定不能构成,请证明

　　如果不一定能够,请举例说明.

　　解答：可以。

　　不妨假设a最小，c最大，那么abc构成三角形的充要条件就是a+b>c；

　　这时√a+√b与√c比较，其实就是a+b+2√ab与c比较(两边平方)，a+b已经大于c了，那么显然可以构成三角形。

　　13.有一位农民遇见魔鬼,魔鬼说:"我有一个主意，可以让你发财！只要你从我身后这座桥走过去，你的钱就会增加一倍，走回来又会增加一倍，每过一次桥，你的钱都能增加一倍，不过你必须保证每次在你的钱数加倍后要给我a个钢板，农民大喜，马上过桥，三次过桥后，口袋刚好只有a个钢板，付给魔鬼，分文不剩，请有含a的单项式表示农民最初口袋里的钢板数。

　　解答:设最初钱数为x

　　2[2(2x-a)-a]-a=0

　　解方程得x=7a/8

　　14.三个同学放学回家,途中见到一辆黄色汽车,等他们再往前走时,听说那辆车撞伤一位老人后竟然逃之夭夭.可是谁也没记下这辆汽车的车牌号.警察询问这三个中学生时,他们都说车牌号是一个四位数.其中一个记得这个号码的前两位相同,另一个记得这个号码的后两位数字相同,第三个记得这个四位数恰好是完全平方数,你能确定这辆肇事汽车的车牌号吗

　　解答：四位数可以表示成

　　a×1000＋a×100＋b×10＋b

　　=a×1100＋b×11

　　=11×（a×100＋b）

　　因为a×100＋b必须被11整除，所以a＋b＝11，带入上式得

　　四位数=11×（a×100＋（11－a））

　　=11×（a×99＋11）

　　=11×11×（9a+1)

　　只要9a＋1是完全平方数就行了。

　　由a＝2、3、4、5、6、7、8、9验证得，

　　9a＋1＝19、28、27、46、55、64、73。

　　所以只有a＝7一个解；b＝4。

　　因此四位数是7744＝11^2×8^2=88×88

　　15.已知1加3等于4等于2的2次方，1加3加5等于9等于3的2次方，1加3加5加7=16等于4的2次方，1加3加5加7加9等于25等于5的2次方，等......

　　<1>仿照上例，计算1加2加3加5加7加...加99等于？

　　<2>根据上面规律，请用自然数n(n大于等于1）表示一般规律。

　　解答：<1>1+3+5+...+99=50的平方

　　<2>1+3+5+...+n=[(n-1)/2+1]的平方

　　16.有一次，一只猫抓了20只老鼠，排成一列。猫宣布了它的决定：首先将站在奇数位上的老鼠吃掉，接着将剩下的老师重新按1、2、3、4…编号，再吃掉所有站在奇数位上的老鼠。如此重复，最后剩下的一只老鼠将被放生。一只聪明的老鼠听了，马上选了一个位置，最后剩下的果然是它，猫将它放走了！

　　你知道这只聪明的小老鼠站的是第几个位置吗？

　　解答：排在第16个。第1次能被2整除的剩下了,第2次能被4(2的平方)整除的剩下了,第3次能被8(2的3次方)整除的剩下了,第4次能被16(2的4次方)整除的剩下了,所以只有第16个不会被吃掉。

　　17.1/(1*2*3)+1/(2*3*4)+1/(3*4*5)+…+1/(98*99*100)

　　解答：1/(1*2*3)+1/(2*3*4)+1/(3*4*5)+…+1/(98*99*100)

　　=(1-1/2-1/3)+(1/2-1/3-1/4)+(1/3-1/4-1/5)+......1/98-1/99-1/100

　　=1-1/100

　　=99/100

　　备注：1/(1*2*3)=1-1/2-1/3

　　18.小伟和小明交流暑假中的活动情况，小伟说：“我参加了科技夏令营，外出一个星期，这七天的日期数之和是84，你知道我是几号出发的吗？”小明说：“我假期到舅舅家住了七天，日期数的和再加月份数也是84，你能猜出我是几月几号回家的吗？

　　解答：第一题：设出发那天为X号

　　X+X+1+X+2+X+3+X+4+X+5+X+6=84

　　X=9

　　小伟是9号出发的。

　　第二题：因为是暑假里的活动，所以只能是7或者8月份

　　设回来那天为X号

　　列示为

　　7+X+X-1+X-2+X-3+X-4+X-5+X-6=84

　　或者

　　8+X+X-1+X-2+X-3+X-4+X-5+X-6=84

　　第一式解出X=14

　　第二式结果不为整数

　　所以只能是7月14号到家

　　19.某校初一有甲、乙、丙三个班，甲班比乙班多4个女生，乙班比丙班多1个女生，如果将甲班的第一组同学调入乙班，同时将乙班的第一组同学调入丙班，同时将丙班的第一组同学调入甲班，则三个班的女生人数恰好相等。已知丙班第一组有2名女生，问甲、乙两班第一组各有多少女生？

　　解答：设甲乙两班第一组的女生分别有m和n个 丙班女生有x个乙班就有x+1个，甲班就有x+5个 平均x+2个 （利用改变量来计算）丙班：-2+n=(x+2)-x

　　甲班：+2-m=(x+2)-(x+5) 可以得出 m=5 n=4

　　20.有一水库，在单位时间内有一定量的水流量，同时也向外放水。按现在的放水量，水库中的水可使用40天。因最近库区降雨，使流入水库的水量增加20%，如果放水量也增加10%，那么仍可使用40天。问：如果按原来的放水量放水，可使用多少天？

　　解答： 设水库总水量为x 一天的进水量和出水量分别为m和n

　　则有x/(n-m)=40=x/[n(1+10%)-m(1+20%)] 要求x/[n-m(1+20%)]

　　可以先化简得n=2m x=40m 带入第二个式子即可得到x=50天

　　21.某宾馆先把甲乙两种空调的温度设订为1度,结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度再对乙种空调进行清洗设备,使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1度后的节电量的1.1倍而甲种空调的节电量不变这样两种空调每天共节电405度求只将温度条调高1度后两种空调每天共节电多少度?

　　解答：设只将温度调高1度后，甲乙两种空调每天各节电X，Y度

　　X-Y=27，

　　X+1.1Y=405

　　X=207

　　Y=180

　　甲乙两种空调每天各节电207,180度.

　　22.红棉村有1000公顷荒山,绿化率达80%,300公顷良田不需要绿化,今年X公顷河坡地植树绿化率达20%,这样红棉村所有土地的绿化率就达到60%,河坡地共有多少公顷?

　　解答：(x*20%+1000*80%)/(1000+300+x)=60%

　　(0.2*x+800)/(1300+x)=0.6

　　0.2*x+800=780+0.6*x

　　x=50公顷

　　23.一张纸厚0.06厘米,地球到月球的距离是3.85*10^5千米.

　　小明说,如果将这张纸裁成两等份,把裁成两等份的纸摞起来,再裁两等份,如果重复下去,所有纸的高度大于月球到地球的距离.

　　小刚说,我不信小明的说法.

　　小明的说法是对的吗?为什么?

　　解答：裁40次就高于3.85*10^5千米

　　2^40*0.06/100000=6.597*10^5千米

　　小明的说法是对，只是这张纸一定要够大，要不能裁了几次就裁不了

　　24.有27颗珍珠,其中一颗是假的,但外观和真的一样,只是比真的珍珠轻一点.问:最少用天平称几次(不用砝码),就一定可以把假的珍珠找出来?

　　解答：3次

　　第一次把27颗珍珠分成3等份,取其中2份放天平两端称量,如果天平偏斜,则考虑轻的那9颗珍珠,如果不偏斜,则考虑没有称量的那9颗;同理,将这9颗珍珠再分成3等份,,取其中2份放天平两端称量,再次得到3颗"可疑"的珍珠,取出两颗称量,如果天平偏斜,则轻的是次品~否则没称量的是次品

　　25.埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如用1/3+1/15表示2/5，用1/4+1/7+1/28来表示3/7等等，现在用90个埃及分子1/2，1/3，1/4，1/5，......。1/90。1/91，其中是否再10个数，加上正负号后使它们的和为-1，若存在，请写出这10个数，若不存在，请说明理由。

　　解答:一解：

　　－1=－1/5－1/6－1/8－1/9－1/10－1/12－1/15－1/18－1/20－1/24

　　二解：

　　1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10=1-1/10

　　所以：

　　1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/10=1

　　即：

　　-1/2-1/6-1/12-1/20-1/30-1/42-1/56-1/72-1/90-1/10=-1

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